课程名称：高等数学I

学时数：186                    学分数：11.5

适用专业：信息工程系和计算机与软件工程系各专业

一、本课程的地位、任务和作用

     1、高等数学是理工科大学生最重要的基础理论课之一，它作为工程教育中的一个重要内容，目的在于培养工程技术人员必备的基本数学素质。

     2、通过本课程的学习，使学生理解微积分中极限、导数、积分等基本概念；掌握基本的运算技巧；使学生能用所学的知识去解决各领域中的一些实际问题；训练学生数学推理的严密性，使学生具有一定的数学修养和对实际问题具有抽象、归纳和推广的能力，能用数学语言描述各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论和方法；培养学生学习数学的兴趣，帮助学生养成自学数学教材和其它数学知识的能力，为以后学习其它学科打下良好的基础。

二、本课程的相关课程

本课程的先修课程是：中学数学

三、本课程的基本内容及要求

第一章  函数与极限

1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；了解函数有界性、单调性、周期性和奇偶性；理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念；掌握基本初等函数的性质与图形。掌握极坐标，极坐标与直角坐标之间的转化.

2. 理解数列极限与函数极限的概念、性质及运算法则；了解极限的精确语言；掌握左、右极限的概念、关系和计算方法.

3. 理解无穷小量与无穷大量的概念、性质，了解极限存在与无穷小的关系.

4. 掌握极限存在两个准则（夹逼定理、单调有界准则），掌握两个重要极限及其应用.

5. 掌握无穷小的比较及等价无穷小的代换定理.

6. 掌握计算极限的各种基本方法.

7. 掌握函数连续、左连续、右连续的定义及其关系；会求函数间断点并判别其类型.

8. 了解连续函数的运算性质及初等函数的连续性；了解闭区间上连续函数的有界性定理、最大最小值定理、介值定理和零点定理，并会应用这些性质.

第二章  导数与微分

1. 掌握导数、左导数和右导数的定义、计算以及它们的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程及法线方程，了解导数的一些物理意义，会用导数描述一些物理量.

2. 掌握函数连续、可导和可微的关系.

3. 掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则.

4. 掌握复合函数求导法则，理解反函数求导法则；掌握高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.

5. 会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶及二阶导数.

6. 会求分段函数的导数、了解对数求导法.

7. 理解微分的概念及其几何意义，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性.

8. 会求函数的微分，了解微分在近似计算中的应用.

第三章  微分中值定理及导数的应用

1. 掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理及其应用，了解柯西中值定理及其应用.

2. 掌握罗必塔法则求不定式极限的方法.

3. 掌握判定函数单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.

4. 掌握函数凹凸性的判定方法，会求函数的拐点，了解渐近线（包括水平、铅直和斜渐近线）的计算方法.

5. 了解函数作图的基本步骤.

6. 会用中值定理、单调性、凹凸性、极值、最值等知识证明不等式及解决一些其它类型的问题.

7. 了解弧微分、曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

第四章  不定积分

1. 理解原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的基本公式和性质.

2. 掌握不定积分的换元法和分部积分法.

3. 了解简单有理函数、三角有理函数和简单无理函数的不定积分的计算方法.

第五章  定积分

1. 了解定积分的几何意义和物理意义，掌握定积分的性质及积分中值定理.

2. 理解积分上限函数的连续性与可导性，会求它及由它派生的其它类型函数的导数.

3. 能熟正确地使用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分.

4. 掌握定积分的换元法和分部积分法.

5. 掌握无穷限反常积分和无界函数反常积分的计算方法，了解它与定积分的区别.

第六章  定积分的应用

1. 理解定积分的元素法的基本思想.

2. 会用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积及平行截面面积为已知的立体体积，会求平面曲线的弧长.

3. 了解定积分在物理上的应用，如计算变力沿直线所作的功、水压力、引力等.

第七章  微分方程

1. 理解微分方程的阶、解、通解、特解和初始条件的概念.

2. 掌握可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法.

3. 会解齐次方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.

4. 会用降阶法解下列微分方程：.

5. 理解线性微分方程解的性质和解的结构定理.

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.

7. 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解.

8. 会用微分方程解决一些简单的实际应用问题.

第八章  空间解析几何与向量代数

1. 理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示，掌握零向量、单位向量的定义.

2. 掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积，混合积作了解），了解两个向量垂直和平行的条件.

3. 掌握向量的模、方向角及方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.

4. 掌握平面方程直线方程及其求法，掌握平面和直线的相互关系（平行、垂直、相交等）并会利用这些关系解决有关问题.

5. 理解曲面方程的概念，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面的方程及母线平行于坐标轴的柱面方程，了解常用二次曲面的方程及其图形.

6. 了解空间曲线的参数方程和一般方程.

7. 了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.

第九章  多元函数微分法及其应用

1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质.

3. 理解多元函数偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用.

4. 会计算二元函数一阶、高阶偏导数、全微分.

5. 掌握多元复合函数偏导数求法，会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数.

6. 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.

7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线，会求它们的方程.

8. 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题.

第十章  重积分

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解二重积分的性质，了解二重积分的中值定理.

2. 掌握二重积分在直角坐标及极坐标下的计算方法，会用二重积分解决简单的应用问题.

3. 会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标）.

第十一章  曲线积分与曲面积分

1. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.

2. 掌握两类曲线积分的计算方法.

3. 掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，了解求全微分原函数的方法.

4. 了解两类曲面积分的概念、性质及其相互关系，掌握两类曲面积分的计算方法，了解高斯公式、会用高斯公式计算曲面积分.

第十二章  无穷级数

1. 理解常数项级数的概念，理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件.

2. 掌握几何级数与级数的收敛与发散的条件.

3. 掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法，会用根值审敛法.

4. 掌握交错级数的莱布尼茨定理.

5. 了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系.

6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念.

7. 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法.

8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和.

9. 了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件.

10. 掌握 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数.

11. 了解傅立叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在上的函数展开成傅里叶级数，会将定义在上的函数展开为正弦级数和余弦级数.

四、习题数量及要求

作业按每章节进行布置，每节内容布置4~6题的作业量来进行巩固和复习所学知识.

五、教学方式与考核方式

教学方式：讲课、讨论

考核方式：实施教考分离，由教务处或系部组织相关人员从课程试题（试卷）库中组卷或由有关部门指定的教师出卷2套，由课程所属系部审定、修改后，其中一套作考核试卷用，一套作补考试卷用。

阅卷要求：

1.  实施教考分离的课程必须成立阅卷小组，阅卷小组应由两位或两位以上教师组成，采用流水作业、集体、集中方式阅卷。

2.  教师阅卷应按照制定的标准或参考答案、评分标准严格评阅，做到客观公正，给分准确，宽严适当，前后一致。

3. 阅卷结束后，阅卷小组应做好复核、分析总结、试卷整理归档等工作。各系部应适时组织相关教师对试卷进行抽查。

六、学时分配

七、选用教材及主要参考书(写明名称、编著者、出版社、出版时间)

1．教材：

[1]同济大学数学系.高等数学(第六版) [M].北京.高等教育出版社,2007.

2．参考书：

[2]费为银，王传玉，项立群，万上海.高等数学[M].合肥.中国科学技术大学出版社,2009.

[3]王全迪，郭艾，杨立洪.高等数学教学辅导书[M].北京.高等教育出版社,2010.

[4]刘晓.高等数学学习辅导与提高[M].北京.中国铁道出版社,2014.

  制定者： 孙怡川   审核人：谭芳芳   批准人：刘树德      制定单位:  基础教学部